題目

Problem

3. If $f(x) = \int_2^{e^x} \sqrt{1 + t^2} \,\mathrm{d}t$ , find $(f^{-1})'(0)$ . (10%)

解答

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本題要求反函數在 $y=0$ 處的導數 $(f^{-1})'(0)$ 。
根據反函數求導法則： $(f^{-1})'(0) = rac{1}{f'(x_0)} \quad ext{其中 } f(x_0) = 0$
第一步：求 $x_0$ ：令 $f(x_0) = \int_2^{e^{x_0}} \sqrt{1 + t^2} \,\mathrm{d}t = 0$ 。要使積分值為 $0$ ，其積分上下限必須相等，故 $e^{x_0} = 2 \implies x_0 = \ln 2$ 。
第二步：求導函數 $f'(x)$ ：利用微積分基本定理與連鎖律： $f'(x) = rac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_2^{e^x} \sqrt{1 + t^2} \,\mathrm{d}t = \sqrt{1 + (e^x)^2} \cdot rac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(e^x) = \sqrt{1 + e^{2x}} \cdot e^x$
第三步：代入計算：計算 $f'(\ln 2)$ 的值，最後取倒數即得答案。

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根據反函數求導公式，若 $f(x_0) = 0$ ，則：

(f^{-1})'(0) = rac{1}{f'(x_0)}

首先，我們求解 $x_0$ ：

f(x_0) = \int_2^{e^{x_0}} \sqrt{1 + t^2} \,\mathrm{d}t = 0

由於被積函數 $\sqrt{1+t^2} > 0$ 恆正，積分值為 $0$ 當且僅當積分上限等於下限：

e^{x_0} = 2 \implies x_0 = \ln 2

接著，利用微積分基本定理與連鎖律對 $f(x)$ 求導：

f'(x) = \sqrt{1 + (e^x)^2} \cdot rac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(e^x) = e^x \sqrt{1 + e^{2x}}

將 $x_0 = \ln 2$ 代入導函數：

egin{align*} f'(\ln 2) =&\, e^{\ln 2} \sqrt{1 + e^{2\ln 2}} \[2mm] =&\, 2 \sqrt{1 + 4} \[2mm] =&\, 2\sqrt{5} \end{align*}

因此，所求反函數之導數為：

(f^{-1})'(0) = rac{1}{f'(\ln 2)} = rac{1}{2\sqrt{5}} = rac{\sqrt{5}}{10} \,.