題目
10. Evaluate , where and is the top half of sphere . (10%)
解答
解法一
思路
展開
- 本題要求向量場 在單位上半球面 上的面積分。
- 由於 不是一個封閉曲面（底部是開的，邊界為 平面上的單位圓），我們無法直接對 使用散度定理。
- 引入封閉曲面： 我們補上底面 : ，並規定其法向量朝下（）。 此時，上半球體 的封閉邊界為 。
- 應用散度定理 (Divergence Theorem)：
abla \cdot \mathbf{F} ,\mathrm{d}V$$ 5. 第一步：求散度 ：
abla \cdot \mathbf{F} = rac{\partial P}{\partial x} + rac{\partial Q}{\partial y} + rac{\partial R}{\partial z} = z^2 + x^2 + y^2$$ 6. **第二步：計算體積分 $\iiint_V (x^2+y^2+z^2)\,\mathrm{d}V$**： 利用球面座標系，範圍為 $0 \le ho \le 1, 0 \le heta \le 2\pi, 0 \le \phi \le \pi/2$。 7. **第三步：計算底面 $S_1$ 上的面積分**： 在 $S_1$ 上， $z=0$，且法向量 $\mathbf{n} = -\mathbf{k}$。 $$\iint_{S_1} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}_1 = \iint_{S_1} \mathbf{F} \cdot (-\mathbf{k})\,\mathrm{d}A = \iint_{x^2+y^2 \le 1} -x \,\mathrm{d}A$$ 利用對稱性可知該積分為 0。 8. 兩者相減即可得到 $S$ 上的面積分值。 </details> ### 答題過程 <details> <summary>展開</summary> 為使用散度定理，我們定義 $S_1$ 為 $xy$ 平面上的單位圓盤：S_1 = { (x, y, 0) \mid x^2 + y^2 \le 1 }
並規定其朝下的法向量為 $\mathbf{n}_1 = -\mathbf{k}$。 設 $V$ 為上半球體區域 $V = \{ (x, y, z) \mid x^2 + y^2 + z^2 \le 1, z \ge 0 \}$，其封閉邊界為 $S \cup S_1$。 根據散度定理：\iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} + \iint_{S_1} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}_1 = \iiint_V abla \cdot \mathbf{F} ,\mathrm{d}V
#### 1. 計算散度與體積分 計算向量場 $\mathbf{F}$ 的散度：abla \cdot \mathbf{F} = rac{\partial}{\partial x}(z^2 x + e^y) + rac{\partial}{\partial y}(x^2 y + \cosh z) + rac{\partial}{\partial z}(y^2 z + x) = z^2 + x^2 + y^2
我們引入球面座標系計算 $\iiint_V (x^2+y^2+z^2)\,\mathrm{d}V$：x^2 + y^2 + z^2 = ho^2, \quad \mathrm{d}V = ho^2 \sin\phi,\mathrm{d} ho\mathrm{d} heta\mathrm{d}\phi
0 \le ho \le 1, \quad 0 \le heta \le 2\pi, \quad 0 \le \phi \le rac{\pi}{2}
egin{align*} \iiint_V (x^2 + y^2 + z^2),\mathrm{d}V =&, \int_0^{2\pi} \int_0^{ rac{\pi}{2}} \int_0^1 ho^2 \cdot ho^2 \sin\phi ,\mathrm{d} ho\mathrm{d}\phi\mathrm{d} heta [4mm] =&, \left( \int_0^{2\pi} \mathrm{d} heta ight) \left( \int_0^{ rac{\pi}{2}} \sin\phi ,\mathrm{d}\phi ight) \left( \int_0^1 ho^4 ,\mathrm{d} ho ight) [4mm] =&, (2\pi) \cdot \left[ -\cos\phi ight]_0^{ rac{\pi}{2}} \cdot \left[ rac{1}{5} ho^5 ight]_0^1 [4mm] =&, 2\pi \cdot (0 - (-1)) \cdot rac{1}{5} [4mm] =&, rac{2\pi}{5} \end{align*}
#### 2. 計算底面 $S_1$ 上的面積分 在圓盤 $S_1$ 上，我們有 $z = 0$，且朝下外側法向量為 $\mathrm{d}\mathbf{S}_1 = -\mathbf{k}\,\mathrm{d}A$。 將 $z = 0$ 代入 $\mathbf{F}$ 的第三分量 $R(x, y, z) = y^2 z + x$：R(x, y, 0) = y^2(0) + x = x
因此在 $S_1$ 上的面積分為：\iint_{S_1} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}1 = \iint{x^2+y^2 \le 1} \mathbf{F} \cdot (-\mathbf{k}),\mathrm{d}A = \iint_{x^2+y^2 \le 1} -x ,\mathrm{d}x\mathrm{d}y
由於積分區域 $x^2+y^2 \le 1$ 關於 $y$ 軸對稱，而被積函數 $-x$ 為奇函數，因此：\iint_{S_1} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}_1 = 0
#### 3. 求解上半球面之面積分 由散度定理公式：\iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} + 0 = rac{2\pi}{5} \implies \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = rac{2\pi}{5} ,.