題目

Problem

\lim_{x o 4} rac{4 - x}{2 - \sqrt{x}} \,.

解答

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本題要求極限 $\lim_{x o 4} rac{4-x}{2-\sqrt{x}}$ 。
當 $x o 4$ 時，分子 $4-x o 0$ ，分母 $2-\sqrt{x} o 0$ ，此為 $rac{0}{0}$ 型不定式。
我們可以使用代數因式分解或分子有理化消去分母中的零因子：
- 因式分解：將分子 $4-x$ 視為平方差，寫成 $(2+\sqrt{x})(2-\sqrt{x})$ 。
- 分母有理化：分子分母同乘以 $(2+\sqrt{x})$ 。
消去零因子 $(2-\sqrt{x})$ 後直接代入 $x=4$ 即可。

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當 $x o 4$ 時，原極限為 $rac{0}{0}$ 不定式。我們將分子利用平方差公式進行因式分解：

4 - x = (2 - \sqrt{x})(2 + \sqrt{x})

代回原極限：

egin{align*} \lim_{x o 4} rac{4 - x}{2 - \sqrt{x}} =&\, \lim_{x o 4} rac{(2 - \sqrt{x})(2 + \sqrt{x})}{2 - \sqrt{x}} \[4mm] =&\, \lim_{x o 4} (2 + \sqrt{x}) \[4mm] =&\, 2 + \sqrt{4} \[4mm] =&\, 2 + 2 \[4mm] =&\, 4 \,. \end{align*}

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因為本極限是 $rac{0}{0}$ 不定式，我們也可以直接套用羅必達法則 (L’Hôpital’s Rule)，對分子與分母分別求導。

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原極限為 $rac{0}{0}$ 不定式，由羅必達法則：

egin{align*} \lim_{x o 4} rac{4 - x}{2 - \sqrt{x}} =&\, \lim_{x o 4} rac{ rac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(4 - x)}{ rac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2 - \sqrt{x})} \[4mm] =&\, \lim_{x o 4} rac{-1}{- rac{1}{2\sqrt{x}}} \[4mm] =&\, \lim_{x o 4} 2\sqrt{x} \[4mm] =&\, 2\sqrt{4} \[4mm] =&\, 4 \,. \end{align*}