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111 學年度台綜大微積分 C 第 9 題

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111學年度 · 111台綜大微積分C · 第 9 題

題目

Problem

9. Evaluate the double integral ∬De2x−y2x+y dA\iint_D e^{\frac{2x - y}{2x + y}}\,\mathrm{d}A where DD is the trapezoid in the first quadrant with vertices (2,0)(2, 0), (4,0)(4, 0), (0,4)(0, 4) and (0,8)(0, 8). (10%)

解答

思路

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  1. 分析邊界曲線：
    • 點 (2,0)(2,0) 與 (0,4)(0,4) 的連線為： y=−2x+4  ⟹  2x+y=4y = -2x+4 \implies 2x+y=4。
    • 點 (4,0)(4,0) 與 (0,8)(0,8) 的連線為： y=−2x+8  ⟹  2x+y=8y = -2x+8 \implies 2x+y=8。
    • xx-軸為 y=0y=0。
    • yy-軸為 x=0x=0。
  2. 變數變換： 令 u=2x−yu = 2x-y，v=2x+yv = 2x+y。
    • 邊界 2x+y=4  ⟹  v=42x+y=4 \implies v=4。
    • 邊界 2x+y=8  ⟹  v=82x+y=8 \implies v=8。
    • 邊界 y=0  ⟹  2x−y=2x+y  ⟹  u=vy=0 \implies 2x-y = 2x+y \implies u=v。
    • 邊界 x=0  ⟹  2x−y=−(2x+y)  ⟹  u=−vx=0 \implies 2x-y = -(2x+y) \implies u=-v。 新積分區域在 uvuv 平面為： 4≤v≤84 \le v \le 8， −v≤u≤v-v \le u \le v。
  3. 計算 Jacobian： 解出 x=u+v4x = \frac{u+v}{4}，y=v−u2y = \frac{v-u}{2}，則 ∣J∣=14|J| = \frac{1}{4}。
  4. 代入變換並求出二重積分。

答題過程

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第一步：確定坐標轉換與積分區域

梯形區域 DD 的邊界為：

2x+y=4,2x+y=8,y=0,x=02x+y = 4, \quad 2x+y = 8, \quad y = 0, \quad x = 0

令新變數：

{u=2x−yv=2x+y\begin{cases} u = 2x - y \\ v = 2x + y \end{cases}

則在 uvuv 平面上，對應的積分區域 D′D' 限制為：

4≤v≤8,−v≤u≤v4 \le v \le 8, \quad -v \le u \le v

第二步：計算雅可比行列式

將 x,yx, y 表示為 u,vu, v 的函數：

x=u+v4,y=v−u2x = \frac{u+v}{4}, \quad y = \frac{v-u}{2}

其雅可比行列式為：

J=∂(x,y)∂(u,v)=∣∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v∣=∣1/41/4−1/21/2∣=18−(−18)=14J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1/4 & 1/4 \\ -1/2 & 1/2 \end{vmatrix} = \frac{1}{8} - \left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{1}{4}

故面積微元轉換為：

dA=dxdy=14 dudv\mathrm{d}A = \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac{1}{4}\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v

第三步：計算二重積分

∬De2x−y2x+y dA=∫48∫−vveuv(14 dudv)\iint_D e^{\frac{2x-y}{2x+y}}\,\mathrm{d}A = \int_4^8 \int_{-v}^v e^{\frac{u}{v}} \left( \frac{1}{4}\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v \right) =14∫48[veuv]u=−vu=vdv= \frac{1}{4} \int_4^8 \left[ v e^{\frac{u}{v}} \right]_{u=-v}^{u=v} \mathrm{d}v =14∫48v(e1−e−1) dv= \frac{1}{4} \int_4^8 v(e^1 - e^{-1})\,\mathrm{d}v =e−e−14∫48v dv=e−e−14[v22]48= \frac{e - e^{-1}}{4} \int_4^8 v\,\mathrm{d}v = \frac{e - e^{-1}}{4} \Big[ \frac{v^2}{2} \Big]_4^8 =e−e−14(32−8)=e−e−14⋅24=6(e−e−1)= \frac{e - e^{-1}}{4} \left( 32 - 8 \right) = \frac{e - e^{-1}}{4} \cdot 24 = 6(e - e^{-1})

結論： 積分值為 6(e−e−1)\displaystyle 6(e - e^{-1})。