1. 求交點角度： 令 $1 + \sin\theta = 3\sin\theta \implies \sin\theta = \frac{1}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{6}$ 與 $\frac{5\pi}{6}$。
2. 分析積分限： 當 $\theta \in [\pi/6, 5\pi/6]$ 時， $1+\sin\theta \le 3\sin\theta$，故此區間對應的 $r = 1+\sin\theta$ 弧段剛好落在圓 $r = 3\sin\theta$ 內部。
3. 極座標弧長公式： $L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r^2 + (r')^2}\,\mathrm{d}\theta$ 其中 $r = 1+\sin\theta \implies r' = \cos\theta$。 $r^2 + (r')^2 = (1+\sin\theta)^2 + \cos^2\theta = 2(1+\sin\theta)$
4. 利用對稱性與三角變換求解。

第一步：求交點角度與積分區間

兩曲線在極座標下的交點滿足：

在 $\theta \in \left[ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \right]$ 範圍內，心臟線 $r = 1 + \sin\theta$ 的極半徑小於等於圓 $r = 3\sin\theta$ 的極半徑，因此這段弧長即為所求。

第二步：建立弧長積分

對 $r = 1 + \sin\theta$ 求導：

核心被積項為：

利用對稱性（關於 $\theta = \pi/2$ 對稱），弧長可寫成兩倍積分：

第三步：化簡與積分求值

利用二倍角與正弦餘弦化簡式：

在 $\theta \in [\pi/6, \pi/2]$ 內， $\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} \in [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$，其正弦值恆正，故：

代回積分：

結論： 弧長為 $4$。