1. 將定積分拆開為兩項： $\int_0^\pi f(x)\sin x\,\mathrm{d}x + \int_0^\pi f''(x)\sin x\,\mathrm{d}x = 5$
2. 對這兩項分別進行分部積分（Integration by Parts），消去積分項並保留邊界項：
   • 第一項保持不變，或對其進行分部積分。
   • 第二項 $\int_0^\pi f''(x)\sin x\,\mathrm{d}x$，令 $u = \sin x$，$v' = f''(x) \implies v = f'(x)$： $\int_0^\pi f''(x)\sin x\,\mathrm{d}x = \Big[ f'(x)\sin x \Big]_0^\pi - \int_0^\pi f'(x)\cos x\,\mathrm{d}x$ $= 0 - \int_0^\pi f'(x)\cos x\,\mathrm{d}x$
   • 再對 $-\int_0^\pi f'(x)\cos x\,\mathrm{d}x$ 進行一次分部積分，令 $u = \cos x$，$v' = f'(x) \implies v = f(x)$： $-\int_0^\pi f'(x)\cos x\,\mathrm{d}x = -\Big[ f(x)\cos x \Big]_0^\pi + \int_0^\pi f(x)(-\sin x)\,\mathrm{d}x$ $= f(\pi)\cos\pi - f(0)\cos 0 - \int_0^\pi f(x)\sin x\,\mathrm{d}x$ $= f(\pi) + f(0) - \int_0^\pi f(x)\sin x\,\mathrm{d}x$
3. 將兩部分合併，可以看到積分項恰好消去！由此可求出 $f(0)$。

對積分式中的第二項 $\int_0^\pi f''(x)\sin x\,\mathrm{d}x$ 使用分部積分法： 令 $u = \sin x \implies \mathrm{d}u = \cos x\,\mathrm{d}x$， $v' = f''(x) \implies v = f'(x)$。

由於 $\sin\pi = \sin 0 = 0$，第一項為 0：

對此式再次使用分部積分法： 令 $u = \cos x \implies \mathrm{d}u = -\sin x\,\mathrm{d}x$， $v' = f'(x) \implies v = f(x)$。

代回原定積分方程式：

已知 $f(\pi) = 4$：

結論： $f(0) = 1$。