1. 求曲線 $C$ 在 $(1,2)$ 處的切線斜率 $m_C$： 利用隱函數求導法求 $2x^2y+xy^2=8$ 的導函數 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，代入 $(1,2)$ 得 $m_C = -2$。
2. 利用垂直關係求 $g'(a)$： 因為 $g$ 在 $(a,b)$ 的切線垂直於 $C$ 在 $(1,2)$ 的切線，故斜率乘積為 $-1$。 $g'(a) \cdot (-2) = -1 \implies g'(a) = \frac{1}{2}$
3. 利用反函數關係求 $b$： 因為 $(a,b)$ 在 $g$ 的圖形上 $\implies b = g(a) \implies a = f(b)$。 根據反函數導數公式： $g'(a) = \frac{1}{f'(b)} = \frac{1}{2} \implies f'(b) = 2$ 由 $f(x) = \frac{1}{3}x^3+x+1 \implies f'(x) = x^2+1$，解出 $b^2+1=2$。
4. 篩選第一象限點： 由 $b>0$ 可得 $b=1$，代回 $a = f(1)$ 即可。

第一步：求曲線 $C$ 在 $(1, 2)$ 處的切線斜率

曲線方程式為：

計算偏導：

代入點 $(1, 2)$：

故曲線 $C$ 在 $(1,2)$ 處的切線斜率 $m_C$ 為：

第二步：利用垂直關係求 $g'(a)$

設 $g$ 在 $(a,b)$ 的切線斜率為 $m_g = g'(a)$。 因為兩切線垂直，故斜率乘積為 $-1$：

第三步：求點 $(a, b)$

因為點 $(a, b)$ 在反函數 $g = f^{-1}$ 上，故有關係：

根據反函數導數定理：

對 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x + 1$ 求導：

故有：

由於點 $(a, b)$ 位於第一象限（條件 i），故 $b > 0 \implies b = 1$。

代回 $a = f(b)$：

結論： 所求之點 $(a, b) = \displaystyle \left( \frac{7}{3}, 1 \right)$。