1. 欲使 $f$ 在 $x = 2$ 處連續，必須滿足： $f(2) = \lim_{x\to 2} f(x) = \lim_{x\to 2} \frac{\int_{2x}^{x^2} \sqrt{1 + \sin(\pi t)}\,\mathrm{d}t}{x - 2}$
2. 此極限在 $x \to 2$ 時為 $\frac{0}{0}$ 未定式，適用羅必達法則。
3. 利用萊布尼茲法則（Leibniz Rule）對分子求導： $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{2x}^{x^2} \sqrt{1+\sin(\pi t)}\,\mathrm{d}t = \sqrt{1+\sin(\pi x^2)} \cdot (2x) - \sqrt{1+\sin(2\pi x)} \cdot 2$
4. 代入 $x=2$ 求值即為 $f(2)$。

為使 $f(x)$ 在 $x=2$ 處連續，需令其定義值等於極限值：

此極限為 $\frac{0}{0}$ 型，利用羅必達法則，對分子與分母分別求導：

利用萊布尼茲法則展開分子：

代入 $x = 2$：

因為 $\sin(4\pi) = 0$：

結論： 令 $f(2) = 2$ 可使 $f$ 在 $x=2$ 處連續。