題目

Problem

(1) Evaluate the limit $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{3^n + 5^n}$ . (5%)

(2) Find the horizontal asymptote of the graph $y = x^2\left(2^{\frac{1}{x}} - 2^{\frac{1}{1+x}}\right)$ for $x > 0$ if it exists. (5%)

解答

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此為經典的數列極限問題，可利用夾擠定理（Squeeze Theorem）求解： $5^n < 3^n + 5^n < 5^n + 5^n = 2 \cdot 5^n$ 取 $n$ 次方根後，夾擠可得極限。

求水平漸近線意即求 $\lim_{x\to\infty} y(x)$ 。

令 $u = \frac{1}{x}$ 。當 $x \to \infty$ 時， $u \to 0^+$ 。
原極限可化為： $\lim_{u\to 0^+} \frac{2^u - 2^{\frac{u}{u+1}}}{u^2}$
使用泰勒展開式（Taylor Series）會遠比羅必達法則簡單且不易出錯：
- $2^u = e^{u\ln 2} = 1 + u\ln 2 + \frac{(u\ln 2)^2}{2} + o(u^2)$ 。
- $\frac{u}{u+1} = u(1-u+o(u)) = u-u^2+o(u^2)$ 。
- $2^{\frac{u}{u+1}} = e^{(u-u^2)\ln 2 + o(u^2)} = 1 + (u-u^2)\ln 2 + \frac{u^2\ln^2 2}{2} + o(u^2)$ 。
相減後代回極限式即可得到 $\ln 2$ 。故水平漸近線為 $y = \ln 2$ 。

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對任意正整數 $n \ge 1$ ，有不等式：

5^n < 3^n + 5^n < 2 \cdot 5^n

兩側同開 $n$ 次方根：

5 < \left( 3^n + 5^n \right)^{\frac{1}{n}} < 2^{\frac{1}{n}} \cdot 5

考慮兩側當 $n \to \infty$ 時的極限：

根據夾擠定理：

\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{3^n + 5^n} = 5

欲尋找水平漸近線，即求 $x \to \infty$ 時的極限：

L = \lim_{x\to\infty} x^2 \left( 2^{\frac{1}{x}} - 2^{\frac{1}{1+x}} \right)

令 $u = \frac{1}{x}$ ，當 $x \to \infty$ 時， $u \to 0^+$ 。原式可改寫為：

L = \lim_{u\to 0^+} \frac{2^u - 2^{\frac{u}{u+1}}}{u^2}

利用泰勒展開式：

2^u = e^{u\ln 2} = 1 + u\ln 2 + \frac{u^2\ln^2 2}{2} + o(u^2)

對於指數項，由於 $\frac{u}{u+1} = u(1+u)^{-1} = u - u^2 + o(u^2)$ ：

2^{\frac{u}{u+1}} = e^{\left(u - u^2 + o(u^2)\right)\ln 2} = 1 + (u - u^2)\ln 2 + \frac{(u - u^2)^2 \ln^2 2}{2!} + o(u^2)

= 1 + u\ln 2 - u^2\ln 2 + \frac{u^2\ln^2 2}{2} + o(u^2)

分子相減：

2^u - 2^{\frac{u}{u+1}} = \left( 1 + u\ln 2 + \frac{u^2\ln^2 2}{2} \right) - \left( 1 + u\ln 2 - u^2\ln 2 + \frac{u^2\ln^2 2}{2} \right) + o(u^2)

= u^2\ln 2 + o(u^2)

代回極限式：

L = \lim_{u\to 0^+} \frac{u^2\ln 2 + o(u^2)}{u^2} = \ln 2

因此，該曲線的水平漸近線為：

y = \ln 2

結論： (1) 極限值為 $5$ 。 (2) 水平漸近線為 $y = \ln 2$ 。