1. 積分區域 $R$ 的邊界為拋物線 $y = x^2$ 與水平線 $y = 4$，交點為 $(\pm 2, 4)$。
2. 尋找內部臨界點： 令 $f_x = 0$ 且 $f_y = 0$。求出候選點並確認其是否落在 $R$ 的內部。
3. 分析邊界上的極值：
   • 邊界一 (直線段 $y=4$)：代入 $y=4$，$x \in [-2, 2]$，將 $f(x,y)$ 轉為單變數函數求極值。
   • 邊界二 (拋物線 $y=x^2$)：代入 $y=x^2$，$x \in [-2, 2]$，求單變數函數的極值。
4. 比較所有候選點的函數值，得出絕對最大與最小值。

第一步：求區域 $R$ 內部的臨界點

目標函數為：

對其求偏導數並令其為 0：

得到唯一的內部臨界點為 $(0, 1)$。 由於 $y = 1 \ge x^2 = 0^2$，此點確實在區域 $R$ 內部。 其函數值為：

第二步：求邊界上的極值候選點

區域邊界由兩部分組成：

1. 水平線段 $y = 4$，其中 $-2 \le x \le 2$： 代入目標函數：

   $$f(x, 4) = 3x^2 + 2(16) - 4(4) = 3x^2 + 16$$
   • 在 $x = 0$ 處取得最小值 $f(0, 4) = 16$。
   • 在端點 $x = \pm 2$ 處取得最大值 $f(\pm 2, 4) = 3(4) + 16 = 28$。

2. 拋物線弧 $y = x^2$，其中 $-2 \le x \le 2$： 代入目標函數：

   $$g(x) = f(x, x^2) = 3x^2 + 2x^4 - 4x^2 = 2x^4 - x^2$$

   對單變數函數 $g(x)$ 求導並令其為 0：

   $$g'(x) = 8x^3 - 2x = 2x(4x^2 - 1) = 0 \implies x = 0, \ \pm \frac{1}{2}$$
   • 當 $x = 0 \implies y = 0$，函數值為 $g(0) = f(0, 0) = 0$。
   • 當 $x = \pm \frac{1}{2} \implies y = \frac{1}{4}$，函數值為 $g\left(\pm\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{16}\right) - \frac{1}{4} = -\frac{1}{8}$。
   • 邊界端點 $x = \pm 2 \implies y = 4$，函數值為 $g(\pm 2) = 28$。

第三步：比較所有候選點之值

我們彙整所有的候選值：

• 內部臨界點： $f(0, 1) = -2$。
• 邊界一： $f(0, 4) = 16$， $f(\pm 2, 4) = 28$。
• 邊界二： $f(0, 0) = 0$， $f\left(\pm\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{8}$。

比較可知：

• 絕對最大值為 $28$，發生於邊界端點 $(\pm 2, 4)$。
• 絕對最小值為 $-2$，發生於內部臨界點 $(0, 1)$。

結論：

• 絕對最大值為 $28$。
• 絕對最小值為 $-2$。