題目

Problem

(1) Let $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ be a sequence defined by $a_n = \frac{2^n}{n!}$ . Find $\sum_{n=1}^\infty n a_n$ . (5%)

(2) Use the Integral Test to determine whether the series $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(\ln n)}$ is convergent or divergent? (5%)

解答

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將 $a_n$ 代入求和式： $\sum_{n=1}^\infty n \frac{2^n}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{(n-1)!}$
將變數做平移，令 $k = n-1$ ： $\sum_{k=0}^\infty \frac{2^{k+1}}{k!} = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{2^k}{k!}$
利用指數函數馬克勞林級數 $e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$ ，即可直接求值。

試卷 Typo 說明：原卷題目寫成 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln n}$ 。然而當 $n=1$ 時， $\ln 1 = 0$ ，分母為 0，此時第一項無定義。這顯然是命題老師的排版錯誤，正確起始項應為 $n=2$ 。本站將針對修正後的級數 $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln n}$ 進行積分審斂法檢定。
積分審斂法：考慮函數 $f(x) = \frac{1}{x\ln x}$ 。對此函數在區間 $[2, \infty)$ 上求瑕積分，藉由積分的發散與否判定級數。

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計算級數和：

\sum_{n=1}^\infty n a_n = \sum_{n=1}^\infty n \frac{2^n}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{(n-1)!}

令 $k = n - 1$ ，上式可平移改寫為：

= \sum_{k=0}^\infty \frac{2^{k+1}}{k!} = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{2^k}{k!}

因為指數函數的麥克勞林展開式為：

e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}

代入 $x = 2$ 得到：

\sum_{k=0}^\infty \frac{2^k}{k!} = e^2

因此，級數之和為：

2 e^2

(注意：原卷首項 $n=1$ 導致分母為 0 無意義，在此修正起始項為 $n=2$ 。)

欲檢驗級數 $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln n}$ 的收斂性。設函數 $f(x) = \frac{1}{x\ln x}$ 。在 $[2, \infty)$ 區間上， $f(x)$ 恆為正、連續且為單調遞減函數。

我們對 $f(x)$ 進行瑕積分檢定：

\int_2^\infty \frac{1}{x\ln x}\,\mathrm{d}x = \lim_{t\to\infty} \int_2^t \frac{1}{x\ln x}\,\mathrm{d}x

使用變數代換，令 $u = \ln x \implies \mathrm{d}u = \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ ：

\int_2^\infty \frac{1}{x\ln x}\,\mathrm{d}x = \lim_{t\to\infty} \int_2^t \frac{1}{\ln x}\,\mathrm{d}(\ln x)

= \lim_{t\to\infty} \Big[ \ln(\ln x) \Big]_2^t

= \lim_{t\to\infty} \left( \ln(\ln t) - \ln(\ln 2) \right) = \infty

由於此瑕積分發散，根據積分審斂法，級數 $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln n}$ 為發散（Divergent）。

結論： (1) 和為 $\displaystyle 2e^2$ 。 (2) 此級數為發散。