題目

Problem

7. Define $u(x, y) = y + x e^{xy}$ , where $x = 2s + t$ and $y = 2t + 1$ .

(1) Find $\frac{\partial u}{\partial x}$ when $(x, y) = (0, 1)$ . (5%)

(2) Find $\frac{\partial u}{\partial t}$ when $(s, t) = (0, 0)$ . (5%)

解答

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直接對 $u(x,y)$ 關於 $x$ 求偏導： $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (y + x e^{xy}) = e^{xy} + x y e^{xy}$ 將 $(x,y) = (0,1)$ 代入即可。

當 $(s, t) = (0, 0)$ 時，對應的自變數為 $x = 2(0) + 0 = 0$ ， $y = 2(0) + 1 = 1$ 。
根據多變數鏈鎖律，偏導數 $\frac{\partial u}{\partial t}$ 的計算公式為： $\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t}$
我們需要先計算 $\frac{\partial u}{\partial y} = 1 + x^2 e^{xy}$ 。
計算外部變數的偏微： $\frac{\partial x}{\partial t} = 1$ ， $\frac{\partial y}{\partial t} = 2$ 。
將所有數值代入。

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對 $u(x, y)$ 關於 $x$ 求偏導：

\frac{\partial u}{\partial x} = 0 + 1 \cdot e^{xy} + x \cdot y e^{xy} = (1 + xy)e^{xy}

代入 $(x, y) = (0, 1)$ ：

\left. \frac{\partial u}{\partial x} \right|_{(0,1)} = (1 + 0)e^0 = 1

當 $(s, t) = (0, 0)$ 時：

x = 2(0) + 0 = 0, \quad y = 2(0) + 1 = 1

根據鏈鎖律公式：

\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t}

我們先計算 $u$ 對 $y$ 的偏導：

\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y + x e^{xy}) = 1 + x^2 e^{xy}

在點 $(x, y) = (0, 1)$ 處：

\left. \frac{\partial u}{\partial y} \right|_{(0,1)} = 1 + 0^2 e^0 = 1

接著計算 $x, y$ 對 $t$ 的偏導：

\frac{\partial x}{\partial t} = 1, \quad \frac{\partial y}{\partial t} = 2

將所有結果代回鏈鎖律公式：

\left. \frac{\partial u}{\partial t} \right|_{(s,t)=(0,0)} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 3

結論： (1) $\frac{\partial u}{\partial x}(0,1) = 1$ 。 (2) $\frac{\partial u}{\partial t}(0,0) = 3$ 。