題目

Problem

4. Compute the integral $\int_1^9 \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^2}\,\mathrm{d}x$ . (10%)

解答

展開

觀察被積函數，含有 $\sqrt{x}$ 與它的導數 $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ 。
令 $u = 1 + \sqrt{x} \implies \mathrm{d}u = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x \implies \frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x = 2\,\mathrm{d}u$ 。
轉換積分範圍：
- 當 $x = 1 \implies u = 1 + 1 = 2$ 。
- 當 $x = 9 \implies u = 1 + 3 = 4$ 。
代入求值。

展開

使用變數代換，令 $u = 1 + \sqrt{x}$ 。微分關係式為：

\mathrm{d}u = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x \implies \frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x = 2\,\mathrm{d}u

積分範圍變更：

代回定積分：

\int_1^9 \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^2}\,\mathrm{d}x = \int_2^4 \frac{2}{u^2}\,\mathrm{d}u

= 2 \Big[ -\frac{1}{u} \Big]_2^4 = 2 \left( -\frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{2}\right) \right)

= 2 \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2}

結論： 積分值為 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 。