題目

Problem

3. Compute the integral $\int_0^pi e^{-x} \sin(\pi-x)\,\mathrm{d}x$ . (10%)

解答

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利用三角誘導公式化簡： $\sin(\pi-x) = \sin x$ 。
原式簡化為 $\int_0^\pi e^{-x}\sin x\,\mathrm{d}x$ 。
此為典型的指數與三角函數相乘的積分，可使用兩次分部積分法（Integration by Parts），或直接使用常用積分公式： $\int e^{ax}\sin bx\,\mathrm{d}x = \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2 + b^2} + C$ 在此 $a = -1$ ， $b = 1$ 。

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利用誘導公式：

\sin(\pi - x) = \sin x

故原積分為：

I = \int_0^\pi e^{-x} \sin x\,\mathrm{d}x

使用分部積分公式 $\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u$ ，令 $u = \sin x$ ， $v' = e^{-x} \implies v = -e^{-x}$ ：

I = \Big[ -\sin x e^{-x} \Big]_0^\pi - \int_0^\pi (-e^{-x}) \cos x\,\mathrm{d}x

= 0 + \int_0^\pi e^{-x} \cos x\,\mathrm{d}x

對第二項再次使用分部積分，令 $u = \cos x$ ， $v' = e^{-x} \implies v = -e^{-x}$ ：

I = \Big[ -\cos x e^{-x} \Big]_0^\pi - \int_0^\pi (-e^{-x})(-\sin x)\,\mathrm{d}x

= \left( -\cos\pi e^{-\pi} - (-\cos 0 e^0) \right) - \int_0^\pi e^{-x} \sin x\,\mathrm{d}x

= (e^{-\pi} + 1) - I

移項整理：

2I = e^{-\pi} + 1 \implies I = \frac{e^{-\pi} + 1}{2}

結論： 積分值為 $\displaystyle \frac{e^{-\pi} + 1}{2}$ 。