題目

Problem

2. Compute the integral $\int_0^3 |x^2 - 3x + 2|\,\mathrm{d}x$ . (10%)

解答

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拆解絕對值：先找出被積函數在區間 $[0,3]$ 上的正負號分界點。 $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) = 0 \implies x=1, 2$
分區間討論：
- 當 $x \in [0, 1]$ 時， $x^2-3x+2 \ge 0 \implies |x^2-3x+2| = x^2-3x+2$ 。
- 當 $x \in [1, 2]$ 時， $x^2-3x+2 \le 0 \implies |x^2-3x+2| = -(x^2-3x+2)$ 。
- 當 $x \in [2, 3]$ 時， $x^2-3x+2 \ge 0 \implies |x^2-3x+2| = x^2-3x+2$ 。
利用對稱性簡化計算：由於二次函數 $y = x^2-3x+2$ 的對稱軸為 $x = 1.5$ ，區間 $[0,1]$ 與 $[2,3]$ 對稱。因此 $\int_0^1 (x^2-3x+2)\,\mathrm{d}x = \int_2^3 (x^2-3x+2)\,\mathrm{d}x$ 。原積分可簡化為： $2 \int_0^1 (x^2-3x+2)\,\mathrm{d}x - \int_1^2 (x^2-3x+2)\,\mathrm{d}x$

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分區間拆開積分：

\int_0^3 |x^2 - 3x + 2|\,\mathrm{d}x = \int_0^1 (x^2-3x+2)\,\mathrm{d}x - \int_1^2 (x^2-3x+2)\,\mathrm{d}x + \int_2^3 (x^2-3x+2)\,\mathrm{d}x

由對稱性可知：

\int_0^1 (x^2-3x+2)\,\mathrm{d}x = \int_2^3 (x^2-3x+2)\,\mathrm{d}x

故原式為：

I = 2 \int_0^1 (x^2-3x+2)\,\mathrm{d}x - \int_1^2 (x^2-3x+2)\,\mathrm{d}x

\int_0^1 (x^2-3x+2)\,\mathrm{d}x = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{2 - 9 + 12}{6} = \frac{5}{6}

\int_1^2 (x^2-3x+2)\,\mathrm{d}x = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_1^2

= \left( \frac{8}{3} - 6 + 4 \right) - \frac{5}{6} = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} = \frac{4 - 5}{6} = -\frac{1}{6}

I = 2 \left(\frac{5}{6}\right) - \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{10}{6} + \frac{1}{6} = \frac{11}{6}

結論： 積分值為 $\displaystyle \frac{11}{6}$ 。