1. 目標函數： $f(x,y) = \frac{5}{4}x^2 + \frac{7}{4}y^2 - \frac{\sqrt{3}}{2}xy$。
2. 約束條件： $g(x,y) = x^2+y^2-1=0$。
3. 拉格朗日乘子法：建立方程組 $\nabla f = \lambda \nabla g$。
4. 求解方程組。在消去 $\lambda$ 的過程中需要特別小心代數運算（若兩側平方需注意檢驗是否為增根），並確保帶入極值計算時點與 $xy$ 的正負號對應正確。

第一步：建立拉格朗日聯立方程式

計算偏導數：

拉格朗日方程組 $\nabla f = \lambda \nabla g$ 意即向量 $\nabla f$ 與 $\nabla g$ 平行（外積為零）：

結合約束條件：

第二步：嚴謹求解方程組（避免平方引入增根）

將 (2) 代入 (1)：

將 (3) 兩邊平方（在此需注意：平方後必須回代檢查是否滿足原式，因為它可能引入 $\sqrt{3}(2x^2 - 1) = -2xy$ 的反向解）：

代入 $y^2 = 1 - x^2$：

因式分解：

我們對這兩組解在約束條件 $y^2 = 1-x^2$ 下進行論證：

1. 當 $x^2 = \frac{1}{4} \implies y^2 = \frac{3}{4}$： 此時 $x^2 - y^2 = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2}$。 代回原方程 (1)： $\sqrt{3}\left(-\frac{1}{2}\right) = 2xy \implies 2xy = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$。 這說明 $x$ 與 $y$ 必須異號。 故此時合法的臨界點只有兩點：

   $$(x, y) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right), \ \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

   將其代入目標函數，此時 $x^2 = 1/4$，$y^2 = 3/4$，$xy = -\sqrt{3}/4$：

   $$f\left( \pm\frac{1}{2}, \mp\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{5}{4}\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{7}{4}\left(\frac{3}{4}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{5}{16} + \frac{21}{16} + \frac{6}{16} = 2$$

2. 當 $x^2 = \frac{3}{4} \implies y^2 = \frac{1}{4}$： 此時 $x^2 - y^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$。 代回原方程 (1)： $\sqrt{3}\left(\frac{1}{2}\right) = 2xy \implies 2xy = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$。 這說明 $x$ 與 $y$ 必須同號。 故此時合法的臨界點只有兩點：

   $$(x, y) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right), \ \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)$$

   將其代入目標函數，此時 $x^2 = 3/4$，$y^2 = 1/4$，$xy = \sqrt{3}/4$：

   $$f\left( \pm\frac{\sqrt{3}}{2}, \pm\frac{1}{2} \right) = \frac{5}{4}\left(\frac{3}{4}\right) + \frac{7}{4}\left(\frac{1}{4}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{15}{16} + \frac{7}{16} - \frac{6}{16} = 1$$

結論： 最大值為 $2$，最小值為 $1$。