題目

Problem

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{4^x - 1}{x}$ . (5%)

(2) $\lim_{x\to -6} \frac{\sqrt{10-x} - 4}{x + 6}$ . (5%)

解答

展開

此為 $\frac{0}{0}$ 型極限。

解法一：導數定義 觀察可知此極限即為函數 $g(x) = 4^x$ 在 $x=0$ 處的導數值 $g'(0)$ 。因為 $g'(x) = 4^x \ln 4$ ，故 $g'(0) = \ln 4 = 2\ln 2$ 。
解法二：羅必達法則 對分子與分母同時關於 $x$ 求導。

此為 $\frac{0}{0}$ 型。可以使用分子有理化，或使用羅必達法則。有理化是最穩妥的代數方法。

展開

此為 $\frac{0}{0}$ 型。利用羅必達法則（L’Hôpital’s Rule）：

\lim_{x\to 0} \frac{4^x - 1}{x} \stackrel{\text{L.H.}}{=} \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(4^x - 1)}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{4^x \ln 4}{1} = \ln 4 = 2\ln 2

將分子有理化，分子與分母同乘以 $\sqrt{10-x} + 4$ ：

\lim_{x\to -6} \frac{\sqrt{10-x} - 4}{x+6} = \lim_{x\to -6} \frac{(\sqrt{10-x} - 4)(\sqrt{10-x} + 4)}{(x+6)(\sqrt{10-x} + 4)}

= \lim_{x\to -6} \frac{(10-x) - 16}{(x+6)(\sqrt{10-x} + 4)} = \lim_{x\to -6} \frac{-(x+6)}{(x+6)(\sqrt{10-x} + 4)}

= \lim_{x\to -6} \frac{-1}{\sqrt{10-x} + 4} = \frac{-1}{\sqrt{16} + 4} = -\frac{1}{8}

結論： (1) 限值為 $\displaystyle 2\ln 2$ 。 (2) 限值為 $\displaystyle -\frac{1}{8}$ 。