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111 學年度台綜大微積分 A 第 9 題

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111學年度 · 111台綜大微積分A · 第 9 題

題目

Problem

9. Evaluate ∬Ryxexy dA\iint_R \frac{y}{x} e^{xy}\,\mathrm{d}A, where RR is the region in the first quadrant bounded by lines y=xy = x, y=3xy = 3x, and the hyperbolas xy=1xy = 1, xy=3xy = 3. (10%)

解答

思路

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  1. 定義新變數： u=xyu = xy 且 v=yxv = \frac{y}{x}。
  2. 在新坐標系下，積分範圍簡化為矩形： u∈[1,3]u \in [1, 3]， v∈[1,3]v \in [1, 3]。
  3. 計算 Jacobian 並代入變換二重積分。

答題過程

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令：

{u=xyv=y/x\begin{cases} u = xy \\ v = y/x \end{cases}

在第一象限，這將積分區域映射為 uvuv 平面上的矩形 D=[1,3]×[1,3]D = [1, 3] \times [1, 3]。

計算 Jacobian 行列式：

J−1=∂(u,v)∂(x,y)=∣yx−yx21x∣=2yx=2vJ^{-1} = \frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} = \begin{vmatrix} y & x \\ -\frac{y}{x^2} & \frac{1}{x} \end{vmatrix} = \frac{2y}{x} = 2v

因此：

dA=dxdy=12v dudv\mathrm{d}A = \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac{1}{2v}\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v

代回二重積分：

∬Ryxexy dA=∫13∫13veu(12v dudv)=12(∫131 dv)(∫13eu du)\iint_R \frac{y}{x} e^{xy}\,\mathrm{d}A = \int_1^3 \int_1^3 v e^u \left( \frac{1}{2v}\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v \right) = \frac{1}{2} \left( \int_1^3 1\,\mathrm{d}v \right) \left( \int_1^3 e^u\,\mathrm{d}u \right) =12(2)(e3−e)=e3−e= \frac{1}{2} (2) (e^3 - e) = e^3 - e

結論： 積分值為 e3−e\displaystyle e^3 - e。