1. 目標函數： $f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2$。
2. 約束條件： $g(x,y,z) = x^2+2y^2+3z^2-1=0$。
3. 利用 Lagrange 乘子法，解方程組 $\nabla f = \lambda \nabla g$ 結合約束條件求得所有臨界點，進而比較極值。

建立拉格朗日方程：

可寫成偏導聯立系統：

1. $2x = 2\lambda x \implies x(1-\lambda) = 0$
2. $2y = 4\lambda y \implies y(1-2\lambda) = 0$
3. $2z = 6\lambda z \implies z(1-3\lambda) = 0$
4. $x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 1$

分三種情況討論：

• 情況一： $\lambda = 1 \implies y = 0, z = 0$。 代入 (4) 得 $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$。 點為 $(\pm 1, 0, 0)$，其值 $f = 1$。
• 情況二： $\lambda = \frac{1}{2} \implies x = 0, z = 0$。 代入 (4) 得 $2y^2 = 1 \implies y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。 點為 $(0, \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$，其值 $f = \frac{1}{2}$。
• 情況三： $\lambda = \frac{1}{3} \implies x = 0, y = 0$。 代入 (4) 得 $3z^2 = 1 \implies z = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$。 點為 $(0, 0, \pm \frac{1}{\sqrt{3}})$，其值 $f = \frac{1}{3}$。

比較所得之值：

• 全局最大值為 $1$。
• 全局最小值為 $\frac{1}{3}$。