題目

Problem

7. Let $f(x)$ be the function defined by the power series $\sum_{n=0}^\infty \frac{(x+2)^{2n}}{(n+3)!}.$ Try to express $f(x)$ as an elementary function. (10%)

解答

思路

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令 $u = (x+2)^2$ 。冪級數寫為 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{u^n}{(n+3)!}$ 。
利用指數函數的級數展開： $e^u = \sum_{k=0}^\infty \frac{u^k}{k!} = 1 + u + \frac{u^2}{2} + \sum_{n=0}^\infty \frac{u^{n+3}}{(n+3)!}$
整理得： $u^3 \sum_{n=0}^\infty \frac{u^n}{(n+3)!} = e^u - 1 - u - \frac{u^2}{2}$
當 $x \neq -2 \implies u \neq 0$ 時，除以 $u^3$ 即得結果。當 $x = -2$ 時另外討論。

答題過程

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令 $u = (x+2)^2$ 。由指數級數展開：

e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + \sum_{n=0}^\infty \frac{u^{n+3}}{(n+3)!}

\implies \sum_{n=0}^\infty \frac{u^{n+3}}{(n+3)!} = e^u - 1 - u - \frac{u^2}{2}

\implies u^3 \sum_{n=0}^\infty \frac{u^n}{(n+3)!} = e^u - 1 - u - \frac{u^2}{2}

當 $x \neq -2$ 時， $u = (x+2)^2 \neq 0$ 。我們可除以 $u^3$ ： $f(x) = \frac{e^{(x+2)^2} - 1 - (x+2)^2 - \frac{(x+2)^4}{2}}{(x+2)^6}$
當 $x = -2$ 時， $f(-2) = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$ 。

結論：

f(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{e^{(x+2)^2} - 1 - (x+2)^2 - \frac{(x+2)^4}{2}}{(x+2)^6}, & \text{if } x \neq -2 \\ \displaystyle \frac{1}{6}, & \text{if } x = -2 \end{cases}

111 學年度台綜大微積分 A 第 7 題

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