• 情況一： $p > 1$。 當 $n \ge 2$ 時， $\ln n > 1$ (對足夠大之 $n$)。因此，通項有 $\frac{1}{n^p \ln n} < \frac{1}{n^p}$。 由於 $\sum \frac{1}{n^p}$ 在 $p > 1$ 時收斂，由比較審斂法知此級數收斂。
• 情況二： $p = 1$。 級數為 $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln n}$。採用積分審斂法： $\int_2^\infty \frac{1}{x\ln x}\,\mathrm{d}x = \lim_{t\to\infty} \Big[ \ln(\ln x) \Big]_2^t = \infty \quad (\text{發散})$
• 情況三： $p < 1$。 由於 $n^p < n \implies \frac{1}{n^p\ln n} > \frac{1}{n\ln n}$，故發散。

根據實數 $p$ 的範圍討論：

1. 若 $p > 1$： 考慮級數 $b_n = \frac{1}{n^p}$，因 $p > 1$ 故 $\sum b_n$ 收斂。 利用極限比較審斂法（Limit Comparison Test）：

   $$\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{n^p\ln n}}{\frac{1}{n^p}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\ln n} = 0$$

   因為極限為 0 且較大級數收斂，故原級數收斂。

2. 若 $p = 1$： 原級數為 $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln n}$。使用積分審斂法：

   $$\int_2^\infty \frac{1}{x\ln x}\,\mathrm{d}x = \Big[ \ln(\ln x) \Big]_2^\infty = \infty \quad (\text{發散})$$

   故原級數發散。

3. 若 $p < 1$： 由於對 $n \ge 2$ 有 $n^p < n \implies \frac{1}{n^p\ln n} > \frac{1}{n\ln n}$。 因為 $\sum \frac{1}{n\ln n}$ 發散，由比較審斂法知，原級數亦發散。

結論： $p > 1$。