題目

Problem

5. Find the area of the region that lies inside the curve $r = 4\sin\theta$ and outside the curve $r = 2$ . (10%)

解答

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兩曲線分別為圓：
- $r = 4\sin\theta$ ：半徑為 2、圓心在極座標 $(2, \pi/2)$ 的圓。
- $r = 2$ ：半徑為 2、圓心在極點的圓。
求交點角度：令 $4\sin\theta = 2 \implies \sin\theta = \frac{1}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{6}$ 與 $\frac{5\pi}{6}$ 。
利用極座標面積公式： $A = \frac{1}{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} (r_{\text{outer}}^2 - r_{\text{inner}}^2)\,\mathrm{d}\theta$ 代入求值。

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求交點：

4\sin\theta = 2 \implies \sin\theta = \frac{1}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}

建立面積積分式：

A = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} \left[ (4\sin\theta)^2 - 2^2 \right] \mathrm{d}\theta

= \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} (16\sin^2\theta - 4)\,\mathrm{d}\theta = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} (8\sin^2\theta - 2)\,\mathrm{d}\theta

利用半角公式 $\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ 化簡：

A = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} (4(1 - \cos 2\theta) - 2)\,\mathrm{d}\theta = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} (2 - 4\cos 2\theta)\,\mathrm{d}\theta

= \Big[ 2\theta - 2\sin 2\theta \Big]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}

= \left( \frac{5\pi}{3} - 2\sin\frac{5\pi}{3} \right) - \left( \frac{\pi}{3} - 2\sin\frac{\pi}{3} \right)

= \left( \frac{5\pi}{3} + \sqrt{3} \right) - \left( \frac{\pi}{3} - \sqrt{3} \right) = \frac{4\pi}{3} + 2\sqrt{3}

結論： 面積為 $\displaystyle \frac{4\pi}{3} + 2\sqrt{3}$ 。