1. 欲使函數 $f(x)$ 遞增，需滿足其一階導數大於零，即 $f'(x) > 0$。
2. 根據微積分基本定理的第一形式與鏈鎖律： $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_0^{g(x)} h(t)\,\mathrm{d}t = h(g(x)) \cdot g'(x)$ 在此處 $g(x) = x^2$，$h(t) = (1-t^2)e^{t^2}$。
3. 計算 $f'(x)$，並解一元多項式不等式。

對 $f(x)$ 求導：

欲使函數 $f(x)$ 遞增，令 $f'(x) > 0$：

由於對任意實數 $x$，指數項 $e^{x^4} > 0$ 恆成立，故上式等價於：

因為 $1 + x^2 > 0$ 恆為正，可進一步簡化為：

利用數線劃分法，解此三次不等式：

• 根為 $x = -1, 0, 1$。
• 當 $x < -1$ 時，三個括號均為負，乘積為負 $\implies$ 滿足不等式。
• 當 $0 < x < 1$ 時，兩個為正一個為負，乘積為負 $\implies$ 滿足不等式。

因此， $f'(x) > 0$ 的區間為：

結論： $f$ 的遞增區間為 $(-\infty, -1)$ 與 $(0, 1)$。