(1) 第一小題

1. 設 $y = f(x) = 4 \implies \sec^2 x = 4$。因為 $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$，可解得 $\sec x = 2 \implies \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{3}$。
2. 反函數導數公式為： $\left(f^{-1}\right)'(4) = \frac{1}{f'\left(\frac{\pi}{3}\right)}$
3. 計算一階導函數 $f'(x) = 2\sec^2 x \tan x$，代入 $x = \frac{\pi}{3}$ 即可。

(2) 第二小題

1. 當 $(r, s) = (1, 1)$ 時，對應的自變數為 $x = 1 \cdot 1 = 1$，$y = 1 + 1 = 2$。這對應已知條件中的點 $(1, 2)$。
2. 利用偏微的鏈鎖律公式： $\frac{\partial h}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}$ 其中 $\frac{\partial x}{\partial s} = r$，$\frac{\partial y}{\partial s} = 1$。代入計算即可。

(1) 第一小題

設 $y = f(x) = \sec^2 x = 4$。在區間 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 內：

計算導函數 $f'(x)$：

代入 $x = \frac{\pi}{3}$：

由反函數導數定理：

(2) 第二小題

由題意，當 $(r, s) = (1, 1)$ 時：

根據鏈鎖律：

其中：

代回原偏導數值與 $(r,s)=(1,1)$：

結論： (1) $\left(f^{-1}\right)'(4) = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{24}$。 (2) $\frac{\partial h}{\partial s}(1, 1) = 3$。