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111 學年度台綜大微積分 A 第 10 題

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111學年度 · 111台綜大微積分A · 第 10 題

題目

Problem

10. Evaluate the line integral ∫C(1−y3) dx+(x3+e−y2) dy\int_C (1-y^3)\,\mathrm{d}x + (x^3 + e^{-y^2})\,\mathrm{d}y, where CC is the arc of the circle x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 traversed counter-clockwise from (2,0)(2, 0) to (−2,0)(-2, 0). (10%)

解答

思路

展開
  1. 此為非閉合路徑的線積分。路徑 CC 為上半圓周，從 (2,0)(2,0) 到 (−2,0)(-2,0)。
  2. 為了使用格林定理，我們可以加入一條直線段 C1C_1 自 (−2,0)(-2,0) 到 (2,0)(2,0) 沿著 xx 軸，將路徑閉合。
  3. 閉合後的曲線 C+C1C + C_1 剛好為逆時針方向。
  4. 格林定理公式： ∮C+C1M dx+N dy=∬R(∂N∂x−∂M∂y)dA\oint_{C+C_1} M\,\mathrm{d}x + N\,\mathrm{d}y = \iint_R \left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right) \mathrm{d}A
  5. 計算二重積分與直線段 C1C_1 的線積分，最終相減求得原路徑 CC 的積分值。

答題過程

展開

第一步：閉合路徑與格林定理

設 C1C_1 為 xx 軸上自 (−2,0)(-2,0) 到 (2,0)(2,0) 的定向線段。 則 C+C1C + C_1 組成圍成上半圓板 R={(x,y):x2+y2≤4,y≥0}R = \{ (x,y) : x^2 + y^2 \le 4, y \ge 0 \} 的逆時針閉曲線。

根據格林定理：

∫CF⋅dr+∫C1F⋅dr=∬R(∂N∂x−∂M∂y)dA\int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} + \int_{C_1} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \iint_R \left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right) \mathrm{d}A

其中 M=1−y3M = 1 - y^3，N=x3+e−y2N = x^3 + e^{-y^2}。 計算偏微項：

∂N∂x=3x2,∂M∂y=−3y2\frac{\partial N}{\partial x} = 3x^2, \quad \frac{\partial M}{\partial y} = -3y^2   ⟹  ∂N∂x−∂M∂y=3(x2+y2)\implies \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} = 3(x^2 + y^2)

第二步：計算二重積分

使用極座標轉換，其中 R={(r,θ):0≤r≤2,0≤θ≤π}R = \{ (r, \theta) : 0 \le r \le 2, 0 \le \theta \le \pi \}：

∬R3(x2+y2) dA=∫0π∫023r2⋅r drdθ\iint_R 3(x^2 + y^2)\,\mathrm{d}A = \int_0^\pi \int_0^2 3r^2 \cdot r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta =3(∫0π1 dθ)(∫02r3 dr)=3⋅π⋅[r44]02=12π= 3 \left( \int_0^\pi 1\,\mathrm{d}\theta \right) \left( \int_0^2 r^3\,\mathrm{d}r \right) = 3 \cdot \pi \cdot \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^2 = 12\pi

第三步：計算直線段 C1C_1 的線積分

直線段 C1C_1 之參數化為： y=0y = 0， dy=0\mathrm{d}y = 0， xx 從 −2-2 到 22。

∫C1(1−y3) dx+(x3+e−y2) dy=∫−22(1−0) dx+0=∫−221 dx=4\int_{C_1} (1-y^3)\,\mathrm{d}x + (x^3 + e^{-y^2})\,\mathrm{d}y = \int_{-2}^2 (1-0)\,\mathrm{d}x + 0 = \int_{-2}^2 1\,\mathrm{d}x = 4

第四步：求得原線積分

∫CF⋅dr=∬R3(x2+y2) dA−∫C1F⋅dr=12π−4\int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \iint_R 3(x^2 + y^2)\,\mathrm{d}A - \int_{C_1} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = 12\pi - 4

結論： 線積分值為 12π−4\displaystyle 12\pi - 4。