1. 通分整理分式： $\frac{e^{ax} - 1}{x^2} - ax + \frac{b}{x} = \frac{e^{ax} - 1 - ax^3 + bx}{x^2}$
2. 使用泰勒展開式求解極限是首選且最不易出錯的手段。我們對分子在 $x = 0$ 處做泰勒展開： $e^{ax} = 1 + ax + \frac{a^2 x^2}{2!} + \frac{a^3 x^3}{3!} + o(x^3)$
3. 將其代入分子： $e^{ax} - 1 - ax^3 + bx = (a + b)x + \frac{a^2}{2} x^2 + \left(\frac{a^3}{6} - a\right)x^3 + o(x^3)$
4. 代回極限式，可知當 $x \to 0$ 時，為使極限存在且為實數，一次項係數必為 0： $a + b = 0 \implies b = -a$
5. 接著此極限值即為二次項係數： $\lim_{x\to 0} \frac{\frac{a^2}{2}x^2 + O(x^3)}{x^2} = \frac{a^2}{2}$ 令其等於 $\frac{1}{2}$，可求得 $a$ 與 $b$ 的值。

將原極限通分整理：

將 $e^{ax}$ 以泰勒級數展開：

將其代入極限式之分子：

若 $a + b \neq 0$，則分子存在一次方項 $x$，除以分母 $x^2$ 後會導致極限發散。 因此，極限收斂的必要條件為：

在此條件下，極限式化簡為：

根據題目，此極限值為 $\frac{1}{2}$：

結合 $b = -a$，且已知 $a, b \neq 0$：

• 當 $a = 1$ 時， $b = -1$。
• 當 $a = -1$ 時， $b = 1$。

結論： $(a, b) = (1, -1)$ 或 $(-1, 1)$。