題目

8. (10 points) Find the absolute maximum of

f(x,y)=e^{-xy}

on the region

x^2+4y^2 \le 1

解答

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令 $u=x$ 、 $v=2y$ 。則 $u^2+v^2\le1$ ，而 $xy=\frac12uv$ 。由

uv\ge-\frac{u^2+v^2}{2}\ge-\frac12,

可得 $xy\ge-\frac14$ ，且在

(x,y)=\left(\frac1{\sqrt2},-\frac1{2\sqrt2}\right) \quad\text{或}\quad \left(-\frac1{\sqrt2},\frac1{2\sqrt2}\right)

取等號。因此絕對最大值為

\boxed{e^{1/4}}.