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109 學年度台綜大微積分 C 第 6 題

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109學年度 · 109台綜大微積分C · 第 6 題

題目

6. (10 points) Consider the power series ∑n=1∞(−3)n(x+2)nn+1\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-3)^n(x+2)^n}{\sqrt{n+1}}. Find its maximal domain of convergence.

解答

解法一

思路

展開
  • 比值審斂法先給出 ∣x+2∣<13|x+2|<\frac13。
  • 兩個端點分別化為交錯 pp 級數與正項 pp 級數，必須逐一檢查。

答題過程

相鄰項比值的絕對值極限為

lim⁡n→∞∣an+1an∣=3∣x+2∣.\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =3|x+2|.

故內部收斂區間為 ∣x+2∣<13|x+2|<\frac13。端點中，

x=−53 ⁣:∑n=1∞(−1)nn+1x=-\frac53\colon\quad \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}

依交錯級數審斂法收斂；而

x=−73 ⁣:∑n=1∞1n+1x=-\frac73\colon\quad \sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt{n+1}}

發散。因此最大收斂域為

(−73,−53].\boxed{\left(-\frac73,-\frac53\right]}.