題目 3. (10 points) Compute the definite integral ∫042∫x2/52eyy dydx.\int_{0}^{4\sqrt{2}} \int_{x^{2/5}}^{2} \frac{e^y}{\sqrt{y}} \, dy dx.∫042∫x2/52yeydydx. 解答 解法一 思路 展開 先改寫積分區域：固定 yyy 時，xxx 從 000 到 y5/2y^{5/2}y5/2。 交換次序後，xxx 的積分只是區域寬度。 答題過程 原區域滿足 0≤y≤20\le y\le20≤y≤2、0≤x≤y5/20\le x\le y^{5/2}0≤x≤y5/2，故 I= ∫02∫0y5/2eyy dx dy= ∫02y2ey dy= [ey(y2−2y+2)]02=2e2−2.\begin{align*} I =&\,\int_0^2\int_0^{y^{5/2}}\frac{e^y}{\sqrt y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\[4mm] =&\,\int_0^2y^2e^y\,\mathrm{d}y\\[4mm] =&\,\left[e^y(y^2-2y+2)\right]_0^2 =\boxed{2e^2-2}. \end{align*}I===∫02∫0y5/2yeydxdy∫02y2eydy[ey(y2−2y+2)]02=2e2−2.
