題目 9. (10 points) Evaluate ∫01∫1−x29−x2ex2+y2 dydx+∫13∫09−x2ex2+y2 dydx.\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} e^{x^2+y^2}\, dy dx + \int_{1}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^2}} e^{x^2+y^2}\, dy dx.∫01∫1−x29−x2ex2+y2dydx+∫13∫09−x2ex2+y2dydx. 解答 解法一 思路 展開 兩個積分合起來是第一象限、半徑 111 到 333 的四分之一圓環。 被積函數只依賴 x2+y2x^2+y^2x2+y2，改用極坐標最直接。 答題過程 原區域為 0≤θ≤π20\le\theta\le\frac\pi20≤θ≤2π、1≤r≤31\le r\le31≤r≤3。故 I= ∫0π/2∫13er2r dr dθ= π2⋅[12er2]13= π4(e9−e).\begin{align*} I =&\,\int_0^{\pi/2}\int_1^3 e^{r^2}r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,\frac\pi2\cdot\left[\frac12e^{r^2}\right]_1^3\\[4mm] =&\,\boxed{\frac\pi4(e^9-e)}. \end{align*}I===∫0π/2∫13er2rdrdθ2π⋅[21er2]134π(e9−e).
