題目 8. (10 points) Find (f−1)′(5)(f^{-1})'(5)(f−1)′(5) for f(x)=x5+2x3+2x.f(x)=x^5+2x^3+2x.f(x)=x5+2x3+2x. 解答 解法一 思路 展開 先找出 f(a)=5f(a)=5f(a)=5 的 aaa。 反函數導數公式為 (f−1)′(f(a))=1f′(a)(f^{-1})'(f(a))=\frac1{f'(a)}(f−1)′(f(a))=f′(a)1。 答題過程 f(1)=1+2+2=5,f(1)=1+2+2=5,f(1)=1+2+2=5, 所以 a=1a=1a=1。又 f′(x)=5x4+6x2+2,f′(1)=13.f'(x)=5x^4+6x^2+2, \qquad f'(1)=13.f′(x)=5x4+6x2+2,f′(1)=13. 故 (f−1)′(5)=1f′(1)=113.(f^{-1})'(5)=\frac1{f'(1)}=\boxed{\frac1{13}}.(f−1)′(5)=f′(1)1=131.
