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109 學年度台綜大微積分 B 第 6 題

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109學年度 · 109台綜大微積分B · 第 6 題

題目

6. (10 points) Evaluate the infinite sum

∑k=0∞1(k+2)k!\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+2)k!}

by some manipulations of the Taylor series of f(x)=xexf(x)=xe^x.

解答

解法一

思路

展開
  • 把分母中的 k+2k+2 寫成 ∫01tk+1 dt\int_0^1t^{k+1}\,\mathrm{d}t。
  • 逐項求和後正好得到題目指定的 tette^t，再作一次基本積分。

答題過程

由 1k+2=∫01tk+1 dt\frac1{k+2}=\int_0^1t^{k+1}\,\mathrm{d}t，

∑k=0∞1(k+2)k!= ∫01∑k=0∞tk+1k! dt= ∫01tet dt.\begin{align*} \sum_{k=0}^\infty\frac1{(k+2)k!} =&\,\int_0^1\sum_{k=0}^\infty\frac{t^{k+1}}{k!}\,\mathrm{d}t\\[4mm] =&\,\int_0^1te^t\,\mathrm{d}t. \end{align*}

而 ∫tet dt=(t−1)et\int te^t\,\mathrm{d}t=(t-1)e^t，所以

∫01tet dt=[(t−1)et]01=1.\int_0^1te^t\,\mathrm{d}t =\left[(t-1)e^t\right]_0^1 =\boxed{1}.