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109 學年度台綜大微積分 B 第 4 題

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109學年度 · 109台綜大微積分B · 第 4 題

題目

4. (10 points) Evaluate ∂u∂y∣(2,0)\left.\dfrac{\partial u}{\partial y}\right|_{(2,0)} for

u(x,y)=h(x2+y2,3x−4y)u(x,y)=h(x^2+y^2, 3x-4y)

where

h(s,t)=t4s−t2+tan⁡sln⁡s.h(s,t)=\frac{t}{4s}-t^2+\frac{\tan s}{\ln s}.

解答

解法一

思路

展開
  • uu 是二元函數 hh 與兩個內函數的合成，對 yy 使用多變數鏈鎖律。
  • 在指定點只需計算 hth_t，因為 s=x2+y2s=x^2+y^2 對 yy 的偏導在 y=0y=0 為零。

答題過程

令 s=x2+y2s=x^2+y^2、t=3x−4yt=3x-4y，則

uy=hs 2y+ht(−4).u_y=h_s\,2y+h_t(-4).

在 (2,0)(2,0) 時 (s,t)=(4,6)(s,t)=(4,6)，而

ht(s,t)=14s−2t,ht(4,6)=116−12=−19116.h_t(s,t)=\frac1{4s}-2t, \qquad h_t(4,6)=\frac1{16}-12=-\frac{191}{16}.

故

uy∣(2,0)=−4(−19116)=1914.\left.u_y\right|_{(2,0)}=-4\left(-\frac{191}{16}\right)=\boxed{\frac{191}{4}}.