微積分福音

109 學年度台綜大微積分 B 第 3 題

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109學年度 · 109台綜大微積分B · 第 3 題

題目

3. (10 points) Evaluate

\left.\dfrac{\partial u}{\partial x}\right|_{(0,1)}

for

u(x,y)=\left(e^x-\frac{y}{6}\right)\int_{-2}^{2x} \sqrt{4-t^2}\, dt.

Note: Answer must in numerical expression and natural constants like $\pi$ , $e$ , … etc.

解答

解法一

思路

展開

用乘積法則；變上限積分對 $x$ 微分時，再用微積分基本定理與鏈鎖律。
$x=0$ 時積分是半徑 $2$ 圓的四分之一面積。

答題過程

設 $I(x)=\int_{-2}^{2x}\sqrt{4-t^2}\,\mathrm{d}t$ ，則

I'(x)=2\sqrt{4-(2x)^2}.

因而

u_x=e^xI(x)+\left(e^x-\frac y6\right)I'(x).

在 $(0,1)$ ，有 $I(0)=\pi$ 、 $I'(0)=4$ ，所以

\left.u_x\right|_{(0,1)} =\pi+\left(1-\frac16\right)4 =\boxed{\pi+\frac{10}{3}}.