微積分福音

109 學年度台綜大微積分 B 第 2 題

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109學年度 · 109台綜大微積分B · 第 2 題

題目

2. (10 points) Evaluate the following integrals

(a) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \sec^2 x \, dx.$

(b) $\int_{4}^{5} \dfrac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+13}} \, dx.$

解答

解法一

思路

展開

(a) 出現 $x\sec^2x$ ，用分部積分，讓 $\sec^2x$ 積分為 $\tan x$ 。
(b) 分子正好是根號內二次式的一半導數，直接代換。

答題過程

(a) 取 $u=x$ 、 $\mathrm{d}v=\sec^2x\,\mathrm{d}x$ ，則

\begin{align*} \int_0^{\pi/4}x\sec^2x\,\mathrm{d}x =&\,\left[x\tan x\right]_0^{\pi/4}-\int_0^{\pi/4}\tan x\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\frac\pi4+\left[\ln(\cos x)\right]_0^{\pi/4} =\frac\pi4-\frac12\ln2. \end{align*}

(b) 令 $u=x^2-6x+13$ ，則 $\mathrm{d}u=2(x-3)\,\mathrm{d}x$ ：

\int_4^5\frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+13}}\,\mathrm{d}x =\left[\sqrt{x^2-6x+13}\right]_4^5 =\sqrt5-2.

答案為 $\boxed{\frac\pi4-\frac12\ln2}$ 與 $\boxed{\sqrt5-2}$ 。