CalcGospel 微積分福音
返回

109 學年度台綜大微積分 B 第 1 題

考題 / 轉學考微積分 / 台綜大 / 微積分B

109學年度 · 109台綜大微積分B · 第 1 題

題目

Problem

  1. (10 points) Find the following limits.

(a) lim⁡x→2x+4x−7\lim_{x \to 2} \dfrac{x+4}{x-7}

(b) lim⁡x→0(1−7x)4x\lim_{x \to 0} (1-7x)^{\frac{4}{x}}

解答

解法一

思路

展開
  • (a) 分母在 x=2x=2 不為零，可直接代入。
  • (b) 是 1∞1^\infty 型，取自然對數後使用重要極限。

答題過程

(a)

lim⁡x→2x+4x−7=2+42−7=−65.\lim_{x\to2}\frac{x+4}{x-7}=\frac{2+4}{2-7}=-\frac65.

(b) 令 L=lim⁡x→0(1−7x)4/xL=\lim_{x\to0}(1-7x)^{4/x}，則

ln⁡L=lim⁡x→04ln⁡(1−7x)x=−28lim⁡x→0ln⁡(1−7x)−7x=−28.\ln L=\lim_{x\to0}\frac{4\ln(1-7x)}x =-28\lim_{x\to0}\frac{\ln(1-7x)}{-7x}=-28.

故 L=e−28L=\boxed{e^{-28}}；兩題答案依序為 −65\boxed{-\frac65}、e−28\boxed{e^{-28}}。