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109 學年度台綜大微積分 A 第 8 題

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109學年度 · 109台綜大微積分A · 第 8 題

題目

8. (10 pts) Evaluate the double integral

∬R(y−x) dA\iint_R (y-x)\, dA

where R={(x,y)∈R2:1≤x2+y2≤4, x≥0}R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 1 \le x^2+y^2 \le 4,\ x \ge 0\}.

解答

解法一

思路

展開
  • 區域是右半邊的圓環，極坐標能直接表達其邊界。
  • 被積函數中的 yy 項在上下對稱的區域上相消；仍可一次用極坐標算完。

答題過程

區域 RR 對應到

1≤r≤2,−π2≤θ≤π2.1\le r\le2,\qquad -\frac\pi2\le\theta\le\frac\pi2.

代入 x=rcos⁡θx=r\cos\theta、y=rsin⁡θy=r\sin\theta 及 dA=r dr dθ\mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta：

∬R(y−x) dA= ∫−π/2π/2∫12r2(sin⁡θ−cos⁡θ) dr dθ= 73[∫−π/2π/2sin⁡θ dθ−∫−π/2π/2cos⁡θ dθ]= −73.\begin{align*} \iint_R(y-x)\,\mathrm{d}A =&\,\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_1^2 r^2(\sin\theta-\cos\theta)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,\frac73\left[\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta -\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta\right]\\[4mm] =&\,-\frac73. \end{align*}

所以答案為 −73\boxed{-\frac73}。