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109 學年度台綜大微積分 A 第 6 題

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109學年度 · 109台綜大微積分A · 第 6 題

題目

6. (10 pts) Let g:(0,∞)→Rg:(0,\infty)\to\mathbb{R} be a twice differentiable function. Assume that

g(1)=1, g′(1)=3, g′′(1)=−4.g(1)=1,\ g'(1)=3,\ g''(1)=-4.

Define a real valued function hh on R3∖{(0,0,0)}\mathbb{R}^3 \setminus \{(0,0,0)\} by

h(x,y,z)=g(x2+y2+z2)h(x,y,z)=g\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)

Calculate ∂2h∂x2(P)+∂2h∂z2(P)+∂2h∂z2(P)\dfrac{\partial^2 h}{\partial x^2}(P)+\dfrac{\partial^2 h}{\partial z^2}(P)+\dfrac{\partial^2 h}{\partial z^2}(P) where P=(23,23,−13)P=\left(\dfrac{2}{3}, \dfrac{2}{3}, -\dfrac{1}{3}\right).

[!WARNING] 題目勘誤 官方原題：要求計算 ∂2h∂x2(P)+∂2h∂z2(P)+∂2h∂z2(P)\dfrac{\partial^2 h}{\partial x^2}(P)+\dfrac{\partial^2 h}{\partial z^2}(P)+\dfrac{\partial^2 h}{\partial z^2}(P)，其中 ∂2h∂z2(P)\dfrac{\partial^2 h}{\partial z^2}(P) 重複出現。

實際上應為：∂2h∂x2(P)+∂2h∂y2(P)+∂2h∂z2(P)\dfrac{\partial^2 h}{\partial x^2}(P)+\dfrac{\partial^2 h}{\partial y^2}(P)+\dfrac{\partial^2 h}{\partial z^2}(P)。

本頁保留官方原題；以下依此已確認的勘正計算拉普拉斯算子。

解答

解法一

思路

展開
  • 函數只透過距離 r=x2+y2+z2r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} 取值，是球對稱函數。
  • 先求一般的二階偏導數；在 PP 有 r=1r=1，即可代入所給的 g′(1)g'(1)、g′′(1)g''(1)。

答題過程

令 r=x2+y2+z2r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}。對任一座標 u∈{x,y,z}u\in\{x,y,z\}，

∂h∂u=g′(r)ur,∂2h∂u2=g′′(r)u2r2+g′(r)(1r−u2r3).\frac{\partial h}{\partial u}=g'(r)\frac{u}{r}, \qquad \frac{\partial^2h}{\partial u^2} =g''(r)\frac{u^2}{r^2}+g'(r)\left(\frac1r-\frac{u^2}{r^3}\right).

在 P=(23,23,−13)P=\left(\frac23,\frac23,-\frac13\right)，有 r=1r=1。將三個二階偏導數相加，二次項係數恰為 x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1：

Δh(P)= g′′(1)+2g′(1)= −4+2⋅3=2.\begin{align*} \Delta h(P) =&\,g''(1)+2g'(1)\\[4mm] =&\,-4+2\cdot3=2. \end{align*}

所以依題意勘正後的拉普拉斯算子值為 2\boxed{2}。

易錯提醒

原式把 ∂2h∂z2\frac{\partial^2h}{\partial z^2} 重複寫了兩次；若機械照抄原式計算，會得到不同的數值。因此這裡使用題目提醒所指的 x,y,zx,y,z 三項和。