題目

3. (10 pts) Let

x>0

and

\triangle ABC

be a triangle whose side lengths are

\overline{BC}=5

\overline{AC}=4

\overline{AB}=3

. Choose a point

P

\overline{AB}

, and a point

Q

\overline{BC}

, and a point

R

\overline{AC}

so that

\frac{\overline{BP}}{\overline{AP}}=\frac{\overline{CQ}}{\overline{BQ}}=\frac{\overline{AR}}{\overline{CR}}=x

Let $f(x)$ be the area of $\triangle PQR$ . Find the critical point and the minimum of $f(x)$ .

解答

展開

設三個角落的小三角形分別為 $\triangle APR$ 、 $\triangle BPQ$ 、 $\triangle CQR$ 。由分點比例，三者的兩條直角邊（或夾角兩邊）長度可分別表示為

\begin{align*} [APR]&=\frac12\cdot\frac3{1+x}\cdot\frac{4x}{1+x} =\frac{6x}{(1+x)^2},\\[4mm] [BPQ]&=\frac12\cdot\frac{3x}{1+x}\cdot\frac5{1+x}\cdot\frac45 =\frac{6x}{(1+x)^2},\\[4mm] [CQR]&=\frac12\cdot\frac4{1+x}\cdot\frac{5x}{1+x}\cdot\frac35 =\frac{6x}{(1+x)^2}. \end{align*}

故中央三角形的面積為

\begin{align*} f(x) =&\,6-\frac{18x}{(1+x)^2}\\[4mm] =&\,\frac{6(x^2-x+1)}{(1+x)^2}. \end{align*}

f'(x)=\frac{18(x-1)}{(1+x)^3}.

因此唯一臨界點為 $x=1$ ；而 $f'(x)<0$ 於 $0<x<1$ 、 $f'(x)>0$ 於 $x>1$ ，所以它給出最小值。

f(1)=\frac{6(1-1+1)}{(1+1)^2}=\frac32.

故臨界點為 $\boxed{x=1}$ ，最小面積為 $\boxed{\frac32}$ 。