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109 學年度台綜大微積分 A 第 1 題

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109學年度 · 109台綜大微積分A · 第 1 題

題目

Problem

  1. (10 pts) Evaluate the following limits if they exist.

(a) lim⁡n→∞3n+22n+1\lim_{n \to \infty} \dfrac{3n+2}{2n+1}

(b) lim⁡x→0cos⁡(2x)−1x2\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(2x)-1}{x^2}

解答

解法一

思路

展開
  • (a) 分子、分母同除以最高次的 nn。
  • (b) 先把分子化成 cos(2x)−1=−2sin⁡2xcos(2x)-1=-2\sin^2x，再使用 limx→0sin⁡xx=1lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1。

答題過程

(a)

3n+22n+1=3+2n2+1n⟶32.\frac{3n+2}{2n+1} =\frac{3+\frac2n}{2+\frac1n} \longrightarrow \frac32.

(b)

cos⁡(2x)−1x2=−2(sin⁡xx)2⟶−2.\frac{\cos(2x)-1}{x^2} =-2\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \longrightarrow -2.

因此兩個極限依序為 32\boxed{\frac32} 與 −2\boxed{-2}。