題目

Problem

(a) (5 points) $\lim_{x \to 0} \dfrac{2^x-1}{4^x-1}$ .

(b) (5 points) $\lim_{x \to 0} \sin^{-1}\left(\dfrac{1-x}{1-x^2}\right)$ , where $\sin^{-1}$ is the inverse function of sine.

題目勘誤

官方原題：第 (b) 題要求計算 $x\to0$ 時的雙側極限。

實際上應為：在 $x\ne1$ 時，反正弦內部為 $\frac1{1+x}$ ；當 $x<0$ 且足夠接近 $0$ 時，該值大於 $1$ ，在實數範圍反正弦函數沒有定義。因此雙側極限不能成立；若題意為右極限，值才是 $\frac{\pi}{2}$ 。

本頁保留官方原題，未替換原題條件。

解答

(a) 利用 $a^x=\exp(x\ln a)$ 在 $x=0$ 的一階近似：

\frac{2^x-1}{4^x-1}\to\frac{\ln2}{\ln4}=\boxed{\frac12}.

(b) 先約分括號內的分式：

\frac{1-x}{1-x^2}=\frac1{1+x}\to1.

但當 $x<0$ 且足夠接近 $0$ 時， $\frac1{1+x}>1$ ，實數範圍的 $\sin^{-1}$ 沒有定義。因此官方所寫的雙側極限

\boxed{\text{不存在（函數在 }0\text{ 左側附近無實數定義）}}.

若題目原意是右極限，才可由連續性得到 $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\sin^{-1}\left(\frac1{1+x}\right)=\frac{\pi}{2}$ 。