題目

Problem

(1) (10 pts) Evaluate the followings.

(a) $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\cos x}$ .

(b) $\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{e^x-1-x}$ .

解答

(a) 因為 $\cos x$ 在 $x=0$ 連續，且 $\cos 0=1$ ，可直接代入：

\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{\cos0}=\boxed{1}.

(b) 分子、分母都趨近於 $0$ 。比較它們在 $0$ 附近的最低次非零項：

1-\cos x=\frac{x^2}{2}+\text{更高次項},\qquad \exp(x)-1-x=\frac{x^2}{2}+\text{更高次項}.

因此

\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{\exp(x)-1-x}=\boxed{1}.