題目

10. (10 points) Evaluate

\int_L \vec{F}\cdot d\vec{r}

, where

\vec{F}=(4x+5y,e^{\cos y}+7x)

and $L$ is the path from $A$ to $B$ , to $C$ to $A$ and to $D$ as shown below:

Note: The path from $B$ to $C$ is circular.

解答

閉合路徑 $A\to B\to C\to A$ 圍成半徑 $1$ 的四分之一圓盤。由格林定理，

\oint(4x+5y)\,\mathrm dx+(e^{\cos y}+7x)\,\mathrm dy =\iint_R(7-5)\,\mathrm dA =\frac\pi2.

最後線段 $A\to D$ 在 $y=0$ ，其積分為

\int_0^{-1}4x\,\mathrm dx=2.

故所求為 $\boxed{2+\frac\pi2}$ 。