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107 學年度台綜大微積分 C 第 9 題

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107學年度 · 107台綜大微積分C · 第 9 題

題目

9. (10%) Evaluate the double integral

∬Rxyy4−x4 dA,\iint_R \frac{xy}{y^4-x^4}\,dA,

where RR is the region in the first quadrant bounded by x2+y2=4x^2+y^2=4, x2+y2=9x^2+y^2=9, y2−x2=1y^2-x^2=1, y2−x2=4y^2-x^2=4.

解答

解法一

令 u=x2+y2u=x^2+y^2、v=y2−x2v=y^2-x^2。第一象限中

∣∂(u,v)∂(x,y)∣=4xy,y4−x4=uv.\left|\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right|=4xy, \qquad y^4-x^4=uv.

故

∬Rxyy4−x4 dA=14∫49∫141uv dv du=14ln⁡94ln⁡4.\iint_R\frac{xy}{y^4-x^4}\,\mathrm{d}A =\frac14\int_4^9\int_1^4\frac1{uv}\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}u =\boxed{\frac14\ln\frac94\ln4}.