題目 10. (10%) Evaluate the line integral ∫C(x−y)dx+(x+y)dyx2+y2,\int_C \frac{(x-y)dx+(x+y)dy}{x^2+y^2},∫Cx2+y2(x−y)dx+(x+y)dy, where CCC is the curve r(t)=(2−t,1+2t), 0≤t≤1r(t)=(2-t,1+2\sqrt{t}),\ 0\le t\le 1r(t)=(2−t,1+2t), 0≤t≤1. 解答 解法一 被積分式可分為 dlnr+dθ\mathrm{d}\ln r+\mathrm{d}\thetadlnr+dθ。曲線由 (2,1)(2,1)(2,1) 到 (1,3)(1,3)(1,3)，且不穿過原點，因此 ∫C=12ln105+(arctan3−arctan12)=12ln2+π4.\int_C=\frac12\ln\frac{10}{5} +\left(\arctan3-\arctan\frac12\right) =\boxed{\frac12\ln2+\frac{\pi}{4}}.∫C=21ln510+(arctan3−arctan21)=21ln2+4π.
