題目 5. (10 Points) Find the radius of convergence of the power series ∑n=1∞n2xn\sum_{n=1}^{\infty} n^2x^n∑n=1∞n2xn and evaluate ∑n=1∞n22n\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^2}{2^n}∑n=1∞2nn2. 解答 解法一 根值判別法給出 limn2∣x∣nn=∣x∣\lim\sqrt[n]{n^2|x|^n}=|x|limnn2∣x∣n=∣x∣，所以收斂半徑為 R=1\boxed{R=1}R=1。 又已知 ∑n=1∞n2rn=r(1+r)(1−r)3(∣r∣<1).\sum_{n=1}^{\infty}n^2r^n=\frac{r(1+r)}{(1-r)^3}\qquad(|r|<1).n=1∑∞n2rn=(1−r)3r(1+r)(∣r∣<1). 取 r=12r=\frac12r=21，得到 ∑n=1∞n22n=6.\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n} =\boxed{6}.n=1∑∞2nn2=6.
