題目 4. (10 Points) Determine whether the improper integral ∫1∞1−cosxx2 dx\int_{1}^{\infty}\dfrac{1-\cos x}{x^2}\,dx∫1∞x21−cosxdx is convergent or divergent. 解答 解法一 因為 0≤1−cosx≤20\le1-\cos x\le20≤1−cosx≤2，所以 0≤1−cosxx2≤2x2.0\le\frac{1-\cos x}{x^2}\le\frac2{x^2}.0≤x21−cosx≤x22. 右側在 [1,∞)[1,\infty)[1,∞) 的瑕積分收斂，故由比較判別法，原積分 收斂\boxed{\text{收斂}}收斂。
