題目 2. (10 Points) Find the point on the curve y=x3/2y=x^{3/2}y=x3/2 that is closest to the point (52,0)\left(\dfrac{5}{2},0\right)(25,0). 解答 解法一 曲線上的點為 (x,x3/2)(x,x^{3/2})(x,x3/2)，其中 x≥0x\ge0x≥0。最小化距離平方 D2=(x−52)2+x3.D^2=(x-\tfrac52)^2+x^3.D2=(x−25)2+x3. dD2dx=3x2+2x−5=(3x+5)(x−1).\frac{\mathrm{d}D^2}{\mathrm{d}x}=3x^2+2x-5=(3x+5)(x-1).dxdD2=3x2+2x−5=(3x+5)(x−1). 唯一非負臨界點為 x=1x=1x=1，且兩端比較可知它給出最小值。因此最近點為 (1,1)\boxed{(1,1)}(1,1)。
