題目 Problem (10 Points) Evaluate: (a) (5 Points) limn→∞nn+1\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}limn→∞n+1n (b) (5 Points) limx→0e−1x2(1x5−3x3)\lim_{x\to 0} e^{-\frac{1}{x^2}}\left(\dfrac{1}{x^5}-\dfrac{3}{x^3}\right)limx→0e−x21(x51−x33) 解答 解法一 (a) 分子、分母同除以 nnn，得到 limn→∞nn+1=limn→∞11+1n=1.\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} =\lim_{n\to\infty}\frac1{1+\frac1n} =\boxed{1}.n→∞limn+1n=n→∞lim1+n11=1. (b) 指數衰減 exp(−1/x2)\exp(-1/x^2)exp(−1/x2) 比任何 1/x1/x1/x 的冪次都快。令 t=1/x2t=1/x^2t=1/x2，則每一項都是 tm/2exp(−t)t^{m/2}\exp(-t)tm/2exp(−t) 型，當 t→∞t\to\inftyt→∞ 均趨於 000。故極限為 0\boxed{0}0。
