題目 Problem 1 (10%). Find the limit limx→0+[1ln(1+x)−1x].\lim_{x\to 0^+}\left[\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}\right].x→0+lim[ln(1+x)1−x1]. 解答 解法一 由 ln(1+x)=x−x22+⋯\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\cdotsln(1+x)=x−2x2+⋯，可得 1ln(1+x)=1x+12+更高次項.\frac1{\ln(1+x)}=\frac1x+\frac12+\text{更高次項}.ln(1+x)1=x1+21+更高次項. 故極限為 12\boxed{\frac12}21。
